مقایسه دو روش درون یابی کریجینگ و IDW

روش درون یابی کریجینگ

روش های كریجینگ و كوكریجینگ بر اساس تعریف واریوگرام استوار بوده و موفقیت روش به انتخااب مدل مناسب یا بهینه ی واریوگرام بستگی دارد.

از واریوگرام به منظور تعیین و تشریح ساختار مكانی داده ها استفاده می شود. واریوگرافی اولین قدم برای مدلسازی ساختار مكانی به منظور استفاده در كریجینگ است. واریوگرام از طریق رابطه زیر محاسبه می شود:

(γˆ(h مقدار واریوگرام برای تعداد N جفت نمونه است كه با فاصله  h ( گام یا Lag ) از یكدیگر جدا شده اند، ( z(xi  و z(xi+h) نیز مقادیر متغیر ناحیه ای x در نقاط i و i+h هستند.

مقدار واریوگرام به فاصله بین مقادیر یك متغیر ناحیه ای در دو نقطه وابسته است . اگر این مقدار به جهت نیز وابسته باشد، واریوگرام ناهمسانگرد (Anisotropic) و در غیر این صورت همسانگرد (Isotropic) نامیده می شود. در واریوگرافی برای تشریح و مدلسازی رفتار واریوگرام از سه مؤلفه استفاده می شود : دامنه تأثیر(Range) حد آستانه یا سقف (Sill) و اثر قطعه ای (Nugget Effect) . دامنه تأثیر حداكثر فاصله ای است كه پس از آن ساختار مكانی دیگر وجود ندارد و واریوگرام به مقدار  ثابتی می رسد . اغلب در عمل، عرض واریوگرام از مبدأ به گونه ای است كه اثر قطعه ای نامیده می شود كه بیانگر واریانس تصادفی و بدون ساختار است . اثر قطعه ای به علت وجود تغییرات در فواصل كمتر از حداقل فاصله نمونه برداری یا به دلیل وجود خطا به هنگام نمونه برداری و اندازه گیری بروز می كند. وقتی واریوگرام به مقدار ثابت خود می رسد، ارتفاع واریوگرام برابر حد آستانه یا سقف واریوگرام، یعنی برابر مجموع واریانس تصادفی و ساختاردا ر است. نسبت واریانس ساختاردار به حد آستانه، ساختار مكانی واریوگرام است. ساختار 75 درصد و بیشتر، نشان دهنده ساختار قوی، بین 25 تا 75 درصد بیانگر  ساختار متوسط و كمتر از 25 درصد نشان دهنده ساختار ضعیف متغیر مورد بررسی است. اولین قدم در درون یابی به روش كریجینگ برازش مدلی بر واریوگرام تجربی است . از بین مدل های موجود (خطی، كروی، نمایی و گوسی )، متداول ترین مدل كه بی شترین كاربرد را در مطالعات محیط زیستی دارد، مدل كروی است . البته هنگام مدلسازی واریوگرام، باید مدلی را انتخاب كرد كه كمترین مقدار مجموع باقی مانده ها (Residuals) را داشته باشد، نرم افزارهای امروزی این امكان را به كاربر می دهند. مدل كروی به صورت رابطه زیر تعریف می شود:

C , CO وa  به ترتیب اثر قطع های، واریانس ساختاردار و دامنه تأثیر را نشان می دهند.

كریجینگ، روش درون یابی و برآورد زمین آماری است كه قادر است براساس مدل برازش شده بر واریوگرام تجربی و نمونه های اندازه گیری شده در جامعه، نقاط نمونه برداری نشده را بدون اریب و با حداقل واریانس برآورد كند. عمومی ترینروش آن كه در علوم محیط زیستی نیز كاربرد فراوانی دارد، كریجینگ معمولی (Ordinary Kriging) است. تابع كریجینگ ب هصورت رابطه زیر تعریف می شود:

i λ وزن مرتبط با ارزش متغیر ناحیه ای x در نقطه i  است در شرایطی که   ∑ λi = 1 است.

روش كریجینگ معمولی اغلب سبب هموارسازی (Smoothing) نقشه ها میشود، یعنی مقادیر بسیار بزرگ، كوچك تر و مقادیر بسیار كوچك، بزرگتر برآورد می شوند. بنابراین استفاده از این روش در مواردی كه حفظ حداقل و حداكثر داده های اولیه در نقشه های تولید شده اهمیت زیادی داشته باشد ، توصیه نمی شود.

كریجینگ را هم می توان به صورت نقطه ای و هم بلوكی انجام داد. ویژگی دیگر كریجینگ علاوه بر دقت زیاد در برآورد این است كه به همراه هر برآوردی (نقشه كریجینگ)، مقدار خطای آن (نقشه انحراف معیار كریجینگ) را نیز محاسبه می كند.

روش درون یابی idw

روش idw  از جمله روش های درون یابی است كه در آن  برآورد براساس مقادیر نقاط نزدیك به نقطه برآورد كه بنابرعكس فاصله وزن دهی می شوند، انجام می گیرد. به عبارت دیگر، به نقاط نزدیك به نقطه برآورد وزن بیشتری داده می شود تا به نقاط دورتر. این روش برخلاف روش كریجینگ از فرضیات مربوط به ارتباط مكانی بین داده ها پیروی نمی كند (واریوگرام ندارد) و تنها بر این فرض متكی است كه نقاط نزدیكتر به نقطه برآورد، شباهت بیشتری به آن دارند تا نقاط دورتر. در این روش اغلب توانی  برای عكس فاصله در نظر گرفته می شود كه به طورمعمول بین 1 تا 5 است، ولی اغلب از توان 2 استفاده می شود، یعنی عكس مجذور فاصله. مشخصه جالب این روش این است كه وزن به كاررفته با افزایش فاصله به سرعت كاهش می یابد، در نتیجه درو نیابی در این روش كاملاً محلی است و چون وزن های به كاررفته هیچ گاه صفر نمی شوند، بنابراین هیچگونه انقطاع و عدم پیوستگی  در برآوردها رخ نمی دهد. اما نقص این روش این است كه برخلاف روش كریجینگ، نقشه خطای برآورد تولید نمی كند. از عیوب دیگر این روش این است كه شكل قرارگیری نمونه ها را در نظر نمی گیرد، در نتیجه وزنی كه به دو یا چند نمونه كه به صورت خوشه در كنار هم و با جهت و فاصله تقریباً برابر از نقطه برآورد قرار گرفته اند، داده می شود، برابر با وزنی خواهد بود كه به یك نمونه تنها داده می شود كه با همان فاصله ولی در جهتی دیگر نسبت به نقطه برآورد قرار گرفته است. درحالی كه این مشكل در روش كریجینگ به علت خاصیت خوشه زدایی (Declustering) آن اتفاق نمی افتد. از آنجا كه در این حالت كریجینگ وزن را براساس عكس تعداد نمونه ها (1/n ) محاسبه می كند، در نقشه های برآوردشده به این روش برخلاف روش كریجینگ، حداقل و حداكثر متغیر برآوردشده در محل نمونه های اولیه قابل مشاهده است.

رابطه كلی درون یابی دوبعدی به روش idw به شکل زیر است:

که (x,y) w مقادیر برآوردشده در موقعیت (x,y) ، N تعداد نقاط معلوم مجاور  (x,y) ، iλ وزن اختصاص داده شده به هریك از مقادیر معلوم wi  در موقعیت (xi,yi)  ، di فاصله اقلیدسی بین هریك از نقاط واقع در موقعیت های (x,y) و (xi,yi) و P مقدار توان است كه متأثر از وزن wi بر w است.